Thèmes de recherche au sein du GDR "Géométrie non commutative"

 


 

Thématique "Géométrie non commutative"

Le but de cette direction est de généraliser les principaux outils de la géométrie à une classe de C*-algèbres suffisamment régulières, qui peuvent être ainsi considérées comme des "variétés non commutatives" en vue de nombreuses applications en géométrie, analyse, mais aussi à la théorie des nombres et à la mécanique quantique.

1 - Théorèmes de l'indice et applications.

Une formule de générale de l'indice locale pour les opérateurs de signature transverse a été établie par Connes et Moscovici. Pour simplifier les calculs complexes sous-jacents à cette formule, ils utilisent la cohomologie cyclique de l'algèbre de Hopf universelle Hn pour les feuilletage de dimension n. Dans cette direction de recherche, citons également :

  • les travaux sur les invariants eta "supérieurs" et les constructions "cut and paste" (Hilsum , Leichtnam) ;
  • la construction d'un caractère de Chern bivariant pour les familles d'opérateurs de Dirac (Perrot) ;
  • la dualité de Poincaré (Debord-Lescure), et le calcul pseudodifférentiel (Monthubert) ont été étendus pour des objets singuliers (variétés à coins) ;
  • les théorèmes de l'indice trouvent une nouvelle vigueur dans l'étude des laminations boréliennes et mesurables (travaux de Gaboriau, Pichot).

2 - Applications à la théorie des nombres et à la physique.

  • Connes et Moscovici ont établi un lien fondamental entre des algèbres de Hecke et l'algèbre de Hopf H1 ;
  • des C*-algèbres naturelles associées à des corps de nombres et leurs algèbres de Hecke viennent d'être construites (Bost-Connes, Connes-Marcolli, Tzanev). Les travaux de Connes-Marcolli et leur généralisation aux variétés de Shimura (Paugam) auront des applications importantes en théorie des nombres ;
  • la K-théorie des C*-algèbres s'applique à la description des solides apériodiques (Bellissard) et au problème d'étiquetage des trous spectraux pour les pavages (Sabot-Kellendonk). La conjecture de Bellissard vient d'être résolue (Benameur-Oyono). Des résultats partiels avaient été obtenus par Bellissard-Kellendonk-Legrand ;
  • citons aussi la construction de modèles non commutatifs pour la relativité générale (Connes, Connes-Lott, Connes-Kreimer, Schuecker), les modèles non commutatifs de sphères de dimension 3 (Connes-Dubois-Violette) ainsi que les applications de la théorie des sous-facteurs à la théorie quantique des champs (travaux de A.Wassermann).

3 - Applications des théories cohomologiques. Conjecture de Baum-Connes.

La conjecture de Baum-Connes et celle de Novikov sont à la base de nombreux travaux dans cette direction. Depuis une vingtaine d'années, G. Kasparov est à l'origine des principaux progrès accomplis dans la résolution de la conjecture de Novikov. Les travaux dans cette direction sont nombreux et variés. Citons-en juste quelques-uns:

  • résolution de la conjecture de Novikov sur les hautes signatures (Kasparov-Skandalis) pour les groupes discrets agissant isométriquement et proprement sur un espace bolique ;
  • Lafforgue a résolu la conjecture de Baum-Connes à coefficients pour les groupes hyperboliques au sens de Gromov ;
  • Higson, Lafforgue et Skandalis ont construit des contre-exemples pour la conjecture de Baum-Connes pour les groupoïdes, les espaces métriques "coarse", les actions de groupes, les feuilletages...
  • Les travaux de Chabert, Echterhoff et Oyono-Oyono ont permis d'établir la conjecture de Baum-Connes dans plusieurs cas, en particulier celui des groupes linéaires adéliques (Chabert-Echterhoff-Oyono) et celui de la conjecture de Connes-Kasparov (Chabert-Echterhoff-Nest) ;
  • Julg a démontré la conjecture de Baum-Connes à coefficients pour le groupe sp(n,1).

4 - Géométrie des groupes.

Ce thème est transverse à toutes les thématiques. On la retrouve au premier plan dans les travaux de théorie ergodique, sous-facteurs, groupes quantiques... Citons juste ici l'étude des groupes construits aléatoirement ou à partir d'automates, et leur lien avec les notions fondamentales de propriété T et de moyennabilité (Zuk).

 


 

Thématique "Intégration non commutative"

Probabilités libres (responsable scientifique Philippe Biane)

Les probabilités libres, inventées il y a une vingtaine d'années par D. Voiculescu, sont une branche de la théorie des algèbres d'opérateurs où l'on utilise des outils probabilistes, en particulier les matrices aléatoires, pour étudier certains facteurs de type II_1, dont les facteurs associés aux groupes libres. Les applications les plus spectaculaires de la théorie ont été obtenues en utilisant la notion d'entropie libre, due elle aussi à Voiculescu. Les membres du groupe "probabilités libres" sont à l'origine des probabilistes qui se sont intéressés aux applications de leurs recherches aux algèbres d'opérateurs. En particulier

  • plusieurs membres du groupe (P. Biane, T. Cabanal-Duvillard, M. Capitaine, A. Guionnet) ont, dans plusieurs collaborations, développé des outils, centrés sur la théorie des grandes déviations qui permettent de mieux comprendre la notion d'entropie libre.
  • Une application importante de ces résultats (Biane-Capitaine-Guionnet) est une inégalité entre les deux notions d'entropie libre définies par Voiculescu.
  • Les membres du groupe ont aussi fait des contributions importantes à l'étude des processus de Wishart libres, à la combinatoire des cumulants libres ou encore à l'étude des lois indéfiniment divisibles libres.

Cette nouvelle composante renforce considérablement cet axe de recherche déjà présent dans le GdR "Algèbres d'opérateurs" avec les travaux de E. Germain (entropie pour les automorphismes de groupes discrets) et J.-L. Sauvageot (semi-groupes Markoviens et noyaux de Poisson "non-commutatifs").

Théorie ergodique et systèmes dynamiques (responsable scientifique Damien Gaboriau

Théâtre d'un flux d'échanges extrêmement intenses et fructueux, la "group measure space construction" de Murray et von Neumann est au confluent de la théorie des algèbres d'opérateurs, de la théorie ergodique et des systèmes dynamiques. Ce qu'on retient du système dynamique, c'est la partition de l'espace en orbites. H.~Dye en 1959--1963, puis Ornstein-Weiss et Connes-Feldman-Weiss en 1980-1981 exhibent une situation de "flexibilité" extrême liée à la moyennabilité. La super-rigidité des cocycles de R.~Zimmer, dans les années 80, met en évidence un comportement complètement différent pour les réseaux des groupes de Lie de rang réel supérieur à 2 (par exemple SL(3,Z)).

  • Des résultats de rigidité d'un tout autre type ont été obtenus par Gaboriau, en introduisant des structures de complexe simplicial sur les orbites d'une telle partition. En particulier, de nouveaux invariants (Gaboriau) de la situation tels le coût ou les nombres de Betti l^2, ont été introduits et étudiés. Combinés à des travaux de S. popa, ces invariants ont permis de résoudre un vieux problème lié aux groupes fondamentaux des facteurs.
  • Gaboriau-Popa ont exhibé un continuum d'actions du groupe libre conduisant à des partitions foncièrement distinctes.
  • De nouveaux groupes capables de produire les mêmes partitions que le groupe libre ont été trouvés récemment (Gaboriau).

Un lien, encore mal compris, a vu le jour grâce à certaines coïncidences numériques entre ces aspects dynamiques et les probabilités libres, à la Voiculescu. Ce sujet est encore un pont vers d'autres domaines, tels que la théorie de la percolation sur les graphes aléatoires, la théorie logique des ensembles ou la théorie géométrique des groupes. Il a connu une explosion d'activité ces quelques dernières années, notamment avec les travaux de Furman, Gaboriau, Popa, Monod-Shalom, Kechris, Hjorth, apportant une grande variété d'outils nouveaux. Il ne fait aucun doute que des voies profondes ont commencé à être explorées, qui ouvrent un vaste champ d'étude tant pour des chercheurs confirmés que pour de jeunes thésards.

 


 

Thématique "Analyse harmonique non commutative"

Groupes quantiques, théorie des sous-facteurs (responsable scientifique Stefaan Vaes)

Les groupes quantiques sont étudiés du point de vue analytique et géométrique. Plusieurs sous-thèmes peuvent être distingués~:

  • Banica a associé de nouveaux exemples de groupes quantiques discrets à des graphes finis. La K-théorie des C*-algèbres réduites des groupes quantiques libres a été étudiée par Vergnioux. Ainsi, des outils géométriques (arbres et graphes de Cayley, par exemple) se sont révélés essentiels.
  • La théorie générale des groupes quantiques localement compacts a été approfondie~: extensions et 2-cohomologie associée, nouveaux exemples provenant de la théorie des nombres et actions extérieures sur des facteurs. (Baaj, Skandalis, Vaes, Vainerman et Van Daele).
  • Connes a étudié le groupe quantique SUq(2) dans le cadre de la géométrie non-commutative et a établi la formule de l'indice locale pour cet exemple.
  • Les travaux de David, Enock, Vainerman et Vallin ont mis en évidence le lien entre les sous-facteurs de profondeur 2 et les groupoïdes quantiques. Une axiomatisation abstraite de cette dernière structure a été donnée par Lesieur.
  • Millson et Toledano ont construit une connexion plate sur la sous-algèbre de Cartan d'une algèbre de Lie simple ayant des pôles sur les hyperplans radiciels. Ils étudient la représentation de monodromie et réfutent une conjecture de Kwon et Lusztig.

Les résultats cités ci-dessus ouvrent plusieurs pistes de recherche.

  • L'étude des groupes quantiques discrets n'est qu'à ses débuts. Il faudra mieux comprendre la structure des C*-algèbres et algèbres de von Neumann associ&eaCute;us ainsi que leur K-théorie. On peut même espérer la formulation d'une conjecture de Baum-Connes quantique.
  • La théorie des représentations des groupes quantiques compacts est très liée à la théorie des sous-facteurs. Les deux sont gérés par la même combinatoire sophistiquée de Jones~: les algèbres planaires. Une meilleure compréhension de ce lien pourrait mener à des résultats de classification de groupes quantiques compacts. Citons aussi le travail fondamental de A.Wassermann sur la théorie conforme des champs basée sur la théorie de fusion de Connes et les sous-facteurs (programme de Jones-Wassermann).
  • Les groupes sont faits pour agir sur des espaces. Dans cet esprit il faudrait plus développer les symétries quantiques des C*-algèbres et algèbres de von Neumann. On peut espérer de classifier certaines actions sur des facteurs par des outils cohomologiques. Nous comptons également étudier des aspects plus topologiques~: actions moyennables, actions propres et les implications pour les C*-algèbres associées.
  • Nous aimerions étudier certains groupes quantiques compacts dans le cadre de la géométrie non-commutative de Connes. L'exemple bien étudié de SUq(2) pourrait nous aider dans l'étude d'autres exemples encore inexplorés, voir le développement d'une théorie générale des groupes de Lie quantiques compacts.

Groupoïdes et applications (responsable scientifique Claire Anantharaman-Delaroche)

Les groupoïdes mesurés, topologiques ou différentiables et les algèbres d'opérateurs qui leur sont associées fournissent un cadre conceptuel bien adapté à l'étude des systèmes dynamiques ainsi qu'à celle des espaces singuliers de nature géométrique. Les recherches au sein de ce thème ont pour but de développer la théorie générale des groupoïdes et d'élargir le champ des applications.

Groupoïdes mesurés ou topologiques

  • Le problème de l'existence des mesures quasi-invariantes de dérivée de Radon-Nikodym donnée (mesures de Gibbs) sur une relation d'équivalence approximativement propre a été résolu, ainsi que l'unicité dans certains cas (Renault). Le problème C*-algébrique correspondant, concernant l'existence et l'unicité d'états KMS a également été étudié (Kumjian-Renault et Exel-Renault).
  • Diverses caractérisations nouvelles de la propriété T (au sens de Zimmer) pour les relations d'équivalence mesurées ou les groupoïdes r-discrets ont été obtenues (Anantharaman, Pichot). Citons aussi une caractérisation de la moyennabilité d'actions de groupes en termes d'estimations spectrales (Anantharaman) ainsi que le travail de M. Pichot établissant un lien entre ergodicité forte et concentration des espaces métriques mesurés définis par des graphages de relations d'équivalence mesurées.
  • Les groupoïdes topologiques non séparés posent de nombreux problèmes dont on ne peut faire l'économie puisque de tels objets apparaissent naturellement en géométrie (par exemple le feuilletage de Reeb). La représentation régulière d'un groupoïde localement compact non séparé a été définie (Khoshkam-Skandalis), faisant apparaître des phénomènes nouveaux (voir les contre-exemples à la conjecture de Baum-Connes donnés par Higson-Lafforgue-Skandalis). Dans cette direction, citons aussi l'approche de la conjecture de Baum-Connes pour les groupoïdes non séparés proposée par J.L. Tu.
  • Un travail important de J.L. Tu, en collaboration avec Laurent-Genoux et P. Xu montre que les diverses approches de la K-théorie tordue des variétés ou des orbifolds peuvent être unifiées en définissant celle-ci comme la K-théorie d'une certaine extension centrale de groupoïdes.

Groupoïdes différentiables et géométrie

La formulation et la preuve de divers résultats géométriques (théorèmes de l'indice notamment) à l'aide de groupoïdes appropriés font l'objet de nombreux travaux. Certains sont mentionnés dans le thème "Géométrie non commutative".

  • Le programme relatif au calcul pseudodifférentiel et théorèmes de l'indice sur des objets géométriques singuliers a bien progressé. Ainsi, les travaux de Monthubert développant le calcul pseudodifférentiel pour les variétés à coins s'inscrivent aussi dans cette direction et fournissent une nouvelle approche pour l'étude du "b-calcul" de Melrose.
  • De son côté, Vassout a défini une théorie abstraite du calcul pseudodifférentiel non borné sur les groupoïdes de Lie conduisant en particulier à la notion de module Hilbertien de Sobolev et à la définition des puissances complexes d'un opérateur pseudodifférentiel strictement positif.
  • Citons aussi la théorie de l'indice supérieur à la Atiyah-Patodi-Singer développée par Leichtnam-Piazza pour des groupoïdes étales, et les applications géométriques qui en découlent.
  • Dans le même ordre d'idées, les C*-algèbres de groupoïde, la K-théorie et l'homologie cyclique sont les outils essentiels dans les travaux de Benameur, ceux portant sur les formules de Lefschetz par exemple.

Groupoïdes quantiques

Ce domaine de recherches, très actif également, s'est développé en liaison avec la théorie des sous-facteurs. Il est mentionné dans la partie ``Groupes quantiques'' de ce thème. Perspectives~: Beaucoup de problèmes restent ouverts. Voici quelques unes des pistes de recherche.

  • Etude des états de Gibbs de certains systèmes dynamiques non commutatifs.
  • Etude de l'équivalence de Morita de systèmes dynamiques en géométrie hyperbolique.
  • Etude des espaces L^p des algèbres de von Neumann de groupoïdes mesurés.
  • Trouver une caractérisation de la propriété T relative de Popa pour les groupoïdes r-discrets uniquement en termes de la dynamique. Construire de nouveaux exemples.
  • Poursuivre le programme général d'étude du calcul pseudodifférentiel sur les espaces singuliers à l'aide des groupoïdes : construire un groupoïde dont le calcul pseudodifférentiel est le calcul de Boutet de Montvel; comprendre le théorème de l'indice de Boutet de Montvel par des techniques de groupoïdes; étendre la fonctorialité ``dans le mauvais sens'' pour de nouvelle classe de groupoïdes; mieux comprendre la K-théorie du groupoïde différentiable associé aux variétés à singularités coniques isolées; étendre ces méthodes à des stratifications plus élaborées....
  • Prolonger l'étude des groupoïde non séparés. Examiner en particulier le cas des groupoïdes de Hecke.
  • Trouver une bonne notion d'action de groupoïde quantique. En commençant par les groupoïdes quantiques finis, il convient d'abord de dégager des exemples de base, provenant notamment d'inclusions d'algèbres de von Neumann de centre fini.

 


 

Thématique "Espaces d'opérateurs et classification des C*-algèbres".

Espaces d'opérateurs (responsable scientifique Quanhua Xu)

Depuis son introduction au début des années 90, la théorie des espace d'opérateurs combine à la fois celle des algèbres d'opérateurs et celle des espaces de Banach. Parmi les applications profondes de cette théorie aux algèbres d'opérateurs, citons la preuve de l'existence de deux C*-normes sur le produit tensoriel $B(H)\otimes B(H)$ établie par Junge et Pisier et la solution donnée par Pisier au problème de similarité de Sz.-Nagy-Halmos. De nombreuses notions de la géométrie des espaces de Banach ont été adaptées à ce nouveau cadre, par exemple : opérateurs sommants, factorisation à travers les L^p; réflexivité locale... Parmi les résultats obtenus récemment dans ce domaine, et qui ont des applications importantes pour les espaces et les algèbres d'opérateurs, citons~:

  • Pisier-Shlyakhtenko ont donné une version du théorème de Grothendieck pour les espaces d'opérateurs. Il a aussi caractérisé les applications complètement bornées d'une C*-algèbre, à valeur dans l'espace d'opérateurs OH.
  • Le Merdy a obtenu des résultats importants sur le calcul fonctionnel $H^\infty$ pour un opérateur A dans un espace L^p classique, qu'il a généralisé par la suite en collaboration avec Xu au cas des espaces L^p non commutatifs.
  • Ricard a établi la factorialité de l'algèbre de von Neumann engendrée par n q-gaussiennes dès que n est supérieur ou égal à 2.
  • Récemment, Ricard et Xu ont établi des inégalités de type Khintchine pour les mots dans un produit libre réduit d'algèbres d'opérateurs, et en ont déduit des résultats de stabilité de la propriété d'approximation complètement contractante.
  • Raynaud et Xu ont obtenu un analogue de la dichotomie de Kadec et Pelczynnski pour les espaces L^p non commutatifs de Haagerup.
  • Nou a montré que les algèbres de von Neumann obtenues comme q-déformations des CCR ne sont pas injectives, résolvant ainsi un problème laissé ouvert par Bozejko et Speicher.

Classification des C*-algèbres (responsable scientifique Etienne Blanchard)

Un projet de classification des C*-algèbres nucléaires (stables) à isomorphisme près par des invariants essentiellement K-théoriques a été lancé par G. Elliott [1989]. Dans le cas simple, l'un des résultats essentiels du à E. Kirchberg et C. Phillips [2000] est le suivant : deux C*-algèbres simples séparables nucléaires stables A et B satisfont $A\otimes\mathcal{O}_\infty\cong B\otimes\mathcal{O}_\infty$ si et seulement si elles sont KK-équivalentes. Ces travaux ont par la suite été étendus (Blanchard-Kirchberg) notamment au cas des C*-algèbres dont l'espace des idéaux primitifs est séparé et de dimension finie . Notre but dans les années à venir est de poursuivre cette étude du cas non simple, d'étudier de nouvelles familles d'exemples et de construire des invariants topologiques appropriés à ce cadre.